Resolva o sistema autônomo plano não-linear dado, passando para coordenadas polares. Descreva o comportamento geométrico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas

x' = y + x * (x^2 + y^2)

y' = -x + y(x^2 + y^2) , X(0) = (4,0)

Passo 1

Nesta questão ele pede o plano linear do sistema dado, sabendo que,

x ' = y + x ( x 2 + y 2 )

y ' = - x + y ( x 2 + y 2 ) , X 0 = ( 4,0 )

Passo 2

Lembrando que para mudança de variáveis temos que,

x = ρ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ

y = ρ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , tendo como equação

x ' = y + x ( x 2 + y 2 )

y ' = - x + y ( x 2 + y 2 ) , X 0 = ( 4,0 )

Com isso, vamos ter que

r = 1 4 t + c 1 ,       θ = t + c 1 ,       r = 4 1 1024 t + 1 ,   θ = r

Resposta

r = 1 4 t + c 1 ,       θ = t + c 1 ,       r = 4 1 1024 t + 1 ,   θ = r