Um retângulo está crescendo de tal modo que, quando seu comprimento mede 5 cm e sua largura mede 2 cm, o comprimento está crescendo a uma taxa de 3 cm/s e a largura está crescendo a uma taxa de 4 cm/s. Nesse instante, a área do retângulo está crescendo a uma taxa de __________.

Passo 1

Bom, esse exercício exige um pouco mais de interpretação e imaginação, vamos lá!

Imaginamos um retângulo como o da figura abaixo.

Considerando que, nesse ponto, ele continua crescendo a uma taxa de 3 cm/s de comprimento e de 4 cm/s de largura, que corresponde em termos numéricos a:

∂ x ∂ t   =   3   c m / s → x = 5   c m

∂ y ∂ t =   4   c m / s   → y = 2   c m

E lembrando que a área de um retângulo é calculada pela multiplicação dos seus lados, ou seja:

A = x y

Temos agora todos os termos para utilizar a Regra da Cadeia para obter a taxa de crescimento da área desse retângulo.

Passo 2

Assim, temos:

d A d t = ∂ A ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ A ∂ y ∂ y ∂ t = y * 3 + x * 4 = 2 * 3 + 5 * 4 =   6 + 20 = 26   c m / s

Agora ficou tranquila, né?

Resposta

A área do retângulo está crescendo a uma taxa de 26 cm/s.