Retas escondidas em computação gráfica - Temos aqui outro problema típico de computação gráfica. Seu olho está em (4, 0, 0). Você está olhando para uma placa triangular cujos vértices estão em (1, 0, 1), (1, 1, 0) e (–2, 2, 2). O segmento de reta de (1, 0, 0) até (0, 2, 2) passa pela placa. Que parte do segmento de reta está escondida da sua visão, encoberta pela placa? (Este é um exercício para encontrar interseções de retas e planos.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para obter o comprimento do segmento oculto, precisamos saber o ponto de interseção da placa triangular e a linha na qual o segmento se encontra, para obter a distância entre o ponto de interseção e o ponto P 2 = ( 0,2 , 2 ) (que atrás do plano).

Como nós escolhemos P 2 = ( 0,2 , 2 ) para ser o ponto atrás do plano triangular e não escolheu P 1 = ( 1,0 , 0 ) porque as coordenadas são ( 4,0 , 0 ) . Conseguindo a linha que atravessa P 1 e P 2

v = P 1 P 2 → = 0 - 1,2 - 0,2 - 0 = - 1 , 2 , 2

Usando v e P 1 , as equações da reta são

L : x = 1 - t ,   y = 2 t ,   z = 2 t

Obtendo a equação do plano seno pelo qual o plano triangular passa por P 3 = 1,0 , 1 ,   P 4 = ( 1,1 , 0 ) e P 5 = ( - 2,2 , 2 ) , nós conseguimos o seguinte vetor

n = P 3 P 4 → × P 3 P 5 →

Esse vetor é perpendicular ao seguinte plano

n = 1 - 1 , 1 - 0 , 0 - 1 × - 2 - 1,2 - 0,2 - 1

Com isso,

n = 0,1 , - 1 × - 3 , 2 , 1

Utilizando matrizes, temos que

n = i j k 0 1 - 1 - 3 2 1 = 1 - 1 2 1 i - 0 - 1 - 3 1 j + 0 1 - 3 2 k

Portanto, temos o seguinte resultado

n = 3 , 3 , 3

Passo 2

Usando P 3 e n , a equação do plano é igual a

P : 3 x - 1 + 3 y - 0 + 3 z - 1 = 0

Simplificando os termos

P : x + y + z = 2   ( 1 )

Obtendo o ponto de interseção colocando as equações em (1) na equação do plano (1), para obter t no ponto de interseção, como segue

1 - t + 2 t + 2 t = 2

Com isso, nós temos que

1 + 3 t = 2

O termo t

t = 1 3

O ponto de interseção será dado por

P = 2 3 , 2 3 , 2 3

O comprimento do segmento de linha pode ser obtido da seguinte maneira

P 1 P 2 = 0 - 1 2 + 2 - 0 2 + 2 - 0 2 = 3   u n i d a d e s

Para P P 2

P P 2 = 0 - 2 3 2 + 2 - 2 3 2 + 2 - 2 3 2 = 2   u n i d a d e s

A razão entre a parte escondida do segmento para o segmento inteiro é

P P 2 P 1 P 2 = 2 3

Resposta

P P 2 P 1 P 2 = 2 3