Sabe-se que x está no intervalo a ≤ x ≤ b , com a > 0 . queremos aproximar x por meio de outro número t em [a, b] de maneira que o erro relativo (t - x) / x seja tão pequeno quando possivel. Represente M(t) o valor máximo de (t - x) / x quando x varia de a a b .

(a) provar que este máximo ocorre num dos pontos extremos x = a ou x = b

(b) provar que M(t) é mínimo quando t é a média harmônica de a e b , isto é, quando 1 / t = 1 / 2 ( 1 / a + 1 / b )

Passo 1

Falaaaaaaa rapaziada tudo blz ?

Então vamos desenrolar essa questão aqui? Nesta letra (a) vamos ter que

E x , t = T - x x

M t = max ⁡ T - x x   c o m   x = a → x = b

T - x x = t - x x                           s e   t ≥ x x - t x                             s e   t < x

d d t T - x x =   - t x 2         s e   t ≥ x T x 2           s e   t < x

Sabendo que t ,   x ≥ a > 0

Então x = t deve ser o mínimo relativo, então o máximo ocorre em qualquer um dos pontos terminais

t - a a = E a , t ,     b - t b = E ( b , t )

O máximo vai ocorrer em x = a   o u   x = b

Passo 2

Já na letra (b) temos que,

M t = t - a a         s e   t - a a > b - t b i . e . t     b + a a b > 2 d M d t b - t b                                       s e   b - t b > t - a a = 1 a         s e     t > 2 a b a + b - 1 a             s e     t < a b a + b   2

Desde que d M d t ⪑ 0     q u a n d o   t   ⪑ 2 a b a + b

Sendo minimizado para t = 2 a b a + b

Resposta

a) O máximo vai ocorrer em x = a   o u   x = b

b) t = 2 a b a + b