Sabe-se que a população de um certo estado cresce a uma taxa proporcional ao número inicial de habitantes. Se após dez anos a população triplicou, e se após 20 anos a população é de 150.000 pessoas, determine o número de habitantes iniciais do estado.

Passo 1

No começo do enunciado ele nos diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade inicial, então:

d N d t = k N

Sabendo disso, temos que desenvolver a solução com as condições iniciais do enunciado para acharmos a solução.

Depois de desenvolvermos a solução, só vai faltar a gente aplicar o valor do enunciado e achar o número de habitantes iniciais.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

1 N d N = k d t

∫ 1 N d N = k ∫ d t

l n N + c = k t

Usando propriedades logarítmicas e b l n ( k ) = k b .

e ln ⁡ N + c = e k t

N e c = e k t

N = e - c e k t

Substituindo a constante afim de simplificar e - c = c .

N = c e k t

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , N = N 0

N 0 = c e 0

c = N 0

Em t = 1 0 , N = 3 N 0

3 N 0 = c e k

3 N 0 = N 0 e 10 k

k = ln ⁡ 3 10

k = 0,1098

Pronto!! Já temos a função que vamos achar os habitantes iniciais.

N ( t ) = N 0 e 0 , 1 098 t

Passo 3

O enunciado nos dá que em 20 anos, teremos 150.000 habitantes.

150000 = N 0 e 0,1098 ( 20 )

N 0 = 16687   h a b i t a n t e s

Resposta

N 0 = 16687   h a b i t a n t e s