A que são iguais os coeficientes angulares das tangentes às curvas y = 1 / x e y = x^2 no ponto de sua interseção? Achar o ângulo entre estas tangentes.

Passo 1

E ae, galera! Bora praticar mais um pouco de limite e derivadas?Nessa questão, como já sabemos, pede pra encontrar o coeficiente angular da reta tangente a essas duas funções. Ou seja, encontrarmos sua derivada em determinado ponto.

E esse ponto é onde as curvas se encontram. Então, primeiro, vamos encontra-lo:

1 x = x 2

1 = x ∙ x 2

1 = x 3

1 = x

As curvas se interceptam em x = 1 .

Passo 2

Lembrando que o coeficiente angular, ou a derivada da função pela definição de limite, se dá por:

α = f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f ( x ) Δ x

Então teremos as seguintes derivadas:

Para f x = 1 x :

f ' x = l i m Δ x → 0 1 x + Δ x - 1 x Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 x - x + Δ x x x + Δ x Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 x - x - Δ x x x + Δ x Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 - Δ x Δ x ( x 2 + x Δ x )

f ' x = l i m Δ x → 0 - 1 ( x 2 + x Δ x )

Agora substituímos Δ x = 0 para encontrar o limite:

f ' x = - 1 x 2 + x ∙ 0 = - 1 x 2

No ponto x = 1 , teremos o seguinte coeficiente angular da reta tangente:

f ' 1 = - 1 1 2 = - 1 1 = - 1

Para a função f x = x 2 :

f ' x = l i m Δ x → 0 x + Δ x 2 - ( x ) 2 Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - x 2 Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 2 x Δ x + Δ x 2 Δ x

Colocando Δ x em evidência, podemos cortar com o do numerador:

f ' x = l i m Δ x → 0 Δ x ( 2 x + Δ x ) Δ x

f ' x = l i m Δ x → 0 ( 2 x + Δ x )

Agora aplicamos Δ x = 0 :

f ' x = 2 x + 0 = 2 x

Então, no ponto x = 1 , teremos o seguinte coeficiente angular para a reta tangente ao ponto:

f ' 1 = 2 1 = 2

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre as duas retas, vamos lembrar que o coeficiente angular representa a tangente do ângulo formado, em relação ao eixo x. Portanto:

Para a reta com coeficiente angular α = - 1 :

- 1 = tg ⁡ θ 1

Lembrando dos ângulos notáveis:

θ 1 = - 45 °

Agora, para a reta com coeficiente angular α = 2 :

2 = tg ⁡ θ 2

θ 2 = 63,43 °

Logo, o ângulo formado entre as retas será a diferença entre os ângulos.

θ = θ 2 - θ 1 = 63,43 ° - - 45 ° = 63,43 ° + 45 ° = 108,43 °

Resposta

Pronto.

Assim, temos que, no ponto de interseção, a reta tangente à curva y = 1 x tem coeficiente angular - 1 , e a tangente à curva y = x 2 tem coeficiente angular 2 , no ponto de interseção entre as retas.

E o ângulo formado entre essas retas tangentes é de 108,43 ° .

E aí? Achou fácil?

Qualquer dúvida pode mandar que a gente resolve!