Sea A = { x, y : x < 0, o x >= 0, y ≠ 0 }

  1. Si f: A → R y D_1 f = D_2 f = 0, probar que f es constante. Indicacio: Observese que cada dos puntos de A se pueden sucésion de rectas paralelas cada uma paralela a uno de los ejes.
  2. Hallar uma funcion f: A → R tal que D₂f = 0 pero que f no sea independiente de la segunda variable

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Saca só, carinha, nós provamos no exercício interior este mesmo problema, mas agora faremos de uma forma diferente.

Para qualquer a , b , c , d ∈ R 2 , observemos a dica dada, ou seja, que cada dois pontos de A são sucedidos de retas palalelas e cada uma paralela a um dos eixos. Veja a imagem:

Assim:

f a , b = f - 1 . b = f - 1 , d = f ( c , d )

E assim é constante sendo x = a , y = b

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

É uma função em duas partes:

f x , y = 0 s e   x < 0   o u   y < 0   x q u a l q u e r   o u t r a   f o r m a

Resposta

Para b)

f x , y = 0 s e   x < 0   o u   y < 0   x q u a l q u e r   o u t r a   f o r m a