Si 0 ≤ θ < π , sea T : R 2 → R 2 cuya matriz es

sin ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Probar que T conserva los angulos, y si x ≠ 0 entonces ∠ x , T x = π

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Chega junto

Temos a matriz:

sin ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Então:

T x , y = sin ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ sin ⁡ θ x y

T x , y = x sin ⁡ θ y cos ⁡ θ - x cos ⁡ θ y sin ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Então:

T x , y = x 2 + y 2 = x , y 2

Provando que T conserva a norma, e se a prova, prova também a preservação do ângulo, certo?

Passo 3

Provado, então seja x ≠ 0 temos:

x ,   T x = x x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ + y - x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ

x ,   T x = x 2 + y 2 sin ⁡ θ  

De forma que:

∠ x , T x = arccos ⁡ x , T x x * T x = arccos ⁡ x 2 + y 2 sin ⁡ θ   x 2 + y 2 = arccos ⁡ sin ⁡ θ

E provamos que há um erro na questão, pois deveria a matriz ser:

cos ⁡ θ sin ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Pois assim, repetindo todos os processos, terminaríamos com:

∠ ( x , T x ) = arccos ⁡ ( cos ⁡ θ ) = θ  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)