Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Michael Spivak - Calculo Em Variedades- Ed: 1º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 12

Sea R n * el espacio dual del espacio vetorial R n . Si x ∈ R n ,   se define φ x ∈ R n * por φ x y = ⟨ x , y ⟩ . Se define T : R n → R n * por T x = φ x . probar que T es una aplicación lineal l-l y concluir que cada φ ∈ R n * es un φ x para un único x ∈ R n .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Primeiro vamos provar que T é linear. Tomemos qualquer x , y ∈ R n e a , b ∈ R

T a x + b y = φ a x + b y = a φ x + b φ y

Sendo T x = φ x e o mesmo para y:

T a x + b x = a T x + b T y

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

E a segunda igualdade se mantem para todo z ∈ R n

φ a x + b y     z = ⟨ a x + b y , z ⟩

φ a x + b y     z = a ⟨ x , z ⟩ + b y , z = a φ x ( z ) + b φ y ( z )

Passo 3

Para provar que T é uma aplicação linear l-l devemos provar que M T = { 0 } sendo M o conjunto nulo de T, mas isso é claro visto que T é um multiplicador, logo T M = { 0 }

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)