Sea (R^n) * el espacio dual del espacio vetorial R^n . Si x ∈ R^n se define φ(x) ∈ R^n* por φ(x) {y} = ⟨x, y⟩ . Se define T: R^n → (R^n)* por T(x) = φ_x . probar que T es una aplicación lineal l-l y concluir que cada φ ∈ R^n* es un φ_x para un único x ∈ R^n .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Primeiro vamos provar que T é linear. Tomemos qualquer x , y ∈ R n e a , b ∈ R

T a x + b y = φ a x + b y = a φ x + b φ y

Sendo T x = φ x e o mesmo para y:

T a x + b x = a T x + b T y

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

E a segunda igualdade se mantem para todo z ∈ R n

φ a x + b y     z = ⟨ a x + b y , z ⟩

φ a x + b y     z = a ⟨ x , z ⟩ + b y , z = a φ x ( z ) + b φ y ( z )

Passo 3

Para provar que T é uma aplicação linear l-l devemos provar que M T = { 0 } sendo M o conjunto nulo de T, mas isso é claro visto que T é um multiplicador, logo T M = { 0 }

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)