Sea g uma funcion continua en la circunferência unidad { x ∈ R 2 : x = 1 } tal que g 0,1 = g 1,0 = 0   y g - x = - g ( x ) . Se define f : R 2 → R   por:

f x = x * g x x x ≠ 0 0 0

  1. Si x ∈ R 2 y h está definida por h t = f ( t x ) , probar que h es diferenciable.
  2. Probar que f no es diferenciable em (0,0) salvo em el caso de ser g = 0 .Indicacion: Primeiro probar que D f 0,0 habria de ser 0 considerando (h,k) com k = 0 y despues com h = 0 .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Veja como a prova é simples!!

Seja x = 0 ou t = 0 , então h 0 = f ( 0 ) =0. Se x ≠ 0 e t > 0 , logo:

h t = f t x = t x * g t x t x

que é então:

h t = f t x = t x * g x x

mas nos foi dado que f x = x * g x x   se x ≠ 0

∴ h t = f t x = t f ( x )

E finalmente, t < 0 :

h t = f t x = - t x * g t x - t x = f x t

portanto, h t = f x t para todo x ∈ R 2 , e então é diferenciavel em D h = h

cola comigo pro próximo passo e item?

Passo 2

Para b)

Desde que g 1,0 = 0 e g - x = - g ( x ) , temos g - 1,0 = g - 1,0 = - g 1,0 = 0 .

Se f é diferenciavel em ( 0,0 ) , concorda comigo que existe uma matriz (a,b) tal que faça D   f 0,0 h , k = a h + b k . ?

Passo 3

Seguindo a dica dada, tomemos h , 0 → 0,0 ,   então:

0 = lim h → 0 ⁡ f h , 0 - f 0,0 - a h h =

lim h → 0 ⁡ h * g h h , 0 - a h h  

E sabemos que h h = ± 1

lim h → 0 ⁡ h * g ± 1 , 0 - a h h  

E vemos que esse limite tende à:

lim h → 0 ⁡ f h , 0 - f 0,0 - a h h = a = 0

Agora usando 0,0 → ( 0 , k )

0 = lim k → 0 ⁡ f 0 , k - f 0,0 - b k k =

lim k → 0 ⁡ k - g 0 , k k - b k k = b

O que força que b seja 0. Então f ' 0,0 = ( 0,0 ) e então D   f 0,0 x , y = 0 . Se g x ≠ 0 , então:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 - 0 x =

lim x → 0 ⁡ x * g x x x =

lim x → o ⁡ g x x   ≠ 0  

E dessa forma f não é diferenciavel. Mas é claro, se g x = 0   , então f x = 0 é diferenciavel.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)