Sea g uma funcion continua en la circunferência unidad tal que y . Se define por:
- Si y h está definida por , probar que h es diferenciable.
- Probar que f no es diferenciable em (0,0) salvo em el caso de ser .Indicacion: Primeiro probar que habria de ser 0 considerando (h,k) com y despues com
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Para a)
Veja como a prova é simples!!
Seja ou , então =0. Se e , logo:
que é então:
mas nos foi dado que se
E finalmente,
portanto, para todo , e então é diferenciavel em
cola comigo pro próximo passo e item?
Passo 2
Para b)
Desde que e , temos .
Se f é diferenciavel em , concorda comigo que existe uma matriz (a,b) tal que faça . ?
Passo 3
Seguindo a dica dada, tomemos então:
E sabemos que
E vemos que esse limite tende à:
Agora usando
O que força que b seja 0. Então e então . Se , então:
E dessa forma f não é diferenciavel. Mas é claro, se então é diferenciavel.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)