Sea f : R → R 2 . Probar que f es diferenciable em a ∈ R si y solo si f 1 e f 2 lo son, y que em este caso:

f ' a = f 1 ' a f 2 ' a

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Antes, temso que supor que f é diferenciavel. Assim, seja f diferenciavel em a com:

f ' a = c 1 c 2

Assim:

0 ≤ lim h → 0 ⁡ f i a + h - f i a - c i   h   h ≤ lim h → 0 ⁡ f a + h - f a - D   f a h   h = 0

Em i = 1,2 .

Implica que f i é diferenciavel em a com f i ' a = c i .

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir, carinha.

Partindo da mesma suposição dita antes, ou seja, que ambos f 1 e f 2 são diferenciáveis em a. Então, da mesma equação dada do Passo 1

lim h → 0 ⁡ f a + h - f a - D   f a h   h ≤   ∑ i = 1 2 f i a + h - f i a - f i ' ( a )   h   h

Passo 3

∑ i = 1 2 f i a + h - f i a - f i ' a h   h = f i ' ( a )

E implica que:

f ' a = f 1 ' a f 2 ' a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)