Sea A = { (x, y) ∈ R² : x > 0 e 0 < y < x² } .

  1. Probar que en toda recta que passe por (0,0) hay um intervalo que contiene en su interior a (0,0) que está em R^2 - A
  2. Se define f: R^2 → R por f(x) = 0 sin x não pertence a 0 y f(x) = 1 si x ∈ A. Para h ∈ R^2 se define g_h(t) = f(t h) . Probar que cada g_h es continua em 0, pero que f es no continua en (0,0)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Antes disso, façamos o gráfico das funções do conjunto dado, ou seja, a reta para x > 0   f x = a x que passa pelo (0,0), e a parábola para y > 0 f x = x 2 que passa pelo (0,0)

Veja que para a ≤ 0 toda a linha está em R 2 - A   , de forma que a reta intercepta a meia parábola no ponto (0,0) em a , a 2 e mais nenhum outro lugar.

Passo 2

Para b)

Provamos no item a que a função f não é continua no ponto 0. Veja que f 0 = 0 sim, mas 0 ∉ A .

Para a continuidade da função num ponto, temso que provar que há um δ > 0 , para que assim exista x ∈ A satisfazendo 0 < x - a < δ

E com a=0, 0 < x < δ .

Maaaaas:

f x - f 0 = 1

Agora, g h t = f ( t h ) conforme dado, é continua em 0 para todo h ∈ R 2 . Seja h = 0 , então conforme dado g h 0 = f 0 = 0 , e então é contínua em 0, mas não para a função f.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)