Sean g 1 , g 2 : R 2 → R continuas. Se define f : R 2 → R por

f x , y = ∫ 0 x g 1 t , 0 d t +   ∫ 0 y g 2 x , t d t

  1. Probar que D y = g 2 x , y
  2. Como habrá se definirse f de manera que D x   f x , y = g 1 ( x , y ) ?
  3. Hallar uma funcion f : R 2 → R tal que D x   f x , y = x y   D y f x , y = y . Hallar outra tal que D x f x , y = x y D y f x , y = y

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Veja que o primeiro termo indepente de y, logo o operador diferencial D y nele é nulo.

Já para o segundo, vamos integrá-lo e aplicar o operador diferencial

D y ∫ 0 y g 2 x , t d t = g 2 ( x , y )

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

O segundo parte da demonstração do primeiro. Assim, a função g 1 deveria ser g 1 ( t , y ) e então:

f x , y = ∫ 0 x g 1 t , y d t + ∫ 0 y g 2 a , t d t  

Veja que o segundo termo não depende de x.

Assim, integrando e aplicando o operador em x:

D x   f ( x , y ) = D x ∫ 0 x g 1 t , y d t = g 1 ( x , y )

Passo 3

Para c)

Para que a derivada de uma função f seja D x   f x = x ela deve ser f x = x 2 2

Assim, a função deve ser então:

f x , y = x 2 + y 2 2

De forma que:

D x f x , y = x

E:

D y f x , y = y

Resposta

Para b)

D x   f ( x , y ) = D x ∫ 0 x g 1 t , y d t = g 1 ( x , y )

Para c)

f x , y = x 2 + y 2 2