Sean f y g integrables em [a,b].

  1. Demonstrar que:
  2. ∫ a b f * g ≤ ∫ a b f 2 1 2 * ∫ a b g 2 1 2

    Consideracioin por separadolos casos 0 = ∫ a b     f - λ g 2 para algum λ ∈ R y 0 < ∫ a b f - λ g 2   para todo λ ∈ R .

  3. Si se verifica la igualdad, ha de ser f = λ g ? Cual si e g son continuas ¿
  4. Mostrar que el teorema 1-1(2) es un caso particular (a)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Façamos g x e   f ( x )

E sabemos pela desigualdade da soma triangular:

∑ i | f x * g ( x ) ≤ ∑ i f 2 1 2 * ∑ i g 2 1 2

De modo que:

∑ i | f x * g x   Δ x ≤ ∑ i f 2   ( x ) Δ x 1 2 * ∑ i g 2   ( x )     Δ x 1 2

IntegrandO:

∫ f x * g x d x     ≤ ∫ f 2 x d x 1 2 * ∫ g 2 x d x 1 2  

Bastando apenas definir os limites no somatório que resulta na integral também e está provado.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Para b)

Não, poderíamos , por exemplo, variar f até um ponto diacreto sem mudar os valores da integral. Se g e f são contínuos, então a afirmação é verdadeira. Suponha que para cada λ ∈ R , há um x ∫ a , b com f x - λ g x 2 > 0 então a desigualdade se mantem verdadeiro em um vizinhança aberta de x desde que f e g sejam continuas, né?! Então ∫ a b f - λ g 2 > 0 desde que o integrando seja sempre não não negativo e positivo somente no subintervalo de [a,b]. Abrindo, temos ∫ a b f 2 - 2 λ   ∫ a b f g +   ∫ a b g 2 > 0   para todo λ .    

Passo 3

Para c)

De acordo com o livro, o teorema 1-1(2) é:

∑ i = 1 n x i y i ≤   x * y

Bom, para os limites, façamos a = 0 ; b = n e f x = x i e g x = y i para todo x ∈ i - 1 , … ,   i para i = 1 , … ,   n . Então do item a temos:

∑ i | x i * y i ≤ ∑ i x 2 1 2 * ∑ i y 2 1 2

E obtemos o resultado esperado.

Resposta

Para b)

Não, poderíamos , por exemplo, variar f até um ponto diacreto sem mudar os valores da integral. Se g e f são contínuos, então a afirmação é verdadeira. Suponha que para cada λ ∈ R , há um x ∫ a , b com f x - λ g x 2 > 0 então a desigualdade se mantem verdadeiro em um vizinhança aberta de x desde que f e g sejam continuas, né?! Então ∫ a b f - λ g 2 > 0 desde que o integrando seja sempre não não negativo e positivo somente no subintervalo de [a,b]. Abrindo, temos ∫ a b f 2 - 2 λ   ∫ a b f g +   ∫ a b g 2 > 0   para todo λ .