Sean f y g integrables em [a,b].
- Demonstrar que:
- Si se verifica la igualdad, ha de ser ? Cual si e g son continuas ¿
- Mostrar que el teorema 1-1(2) es un caso particular (a)
Consideracioin por separadolos casos para algum y para todo .
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
Para a)
Façamos e
E sabemos pela desigualdade da soma triangular:
De modo que:
IntegrandO:
Bastando apenas definir os limites no somatório que resulta na integral também e está provado.
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Para b)
Não, poderíamos , por exemplo, variar f até um ponto diacreto sem mudar os valores da integral. Se g e f são contínuos, então a afirmação é verdadeira. Suponha que para cada , há um com então a desigualdade se mantem verdadeiro em um vizinhança aberta de x desde que f e g sejam continuas, né?! Então desde que o integrando seja sempre não não negativo e positivo somente no subintervalo de [a,b]. Abrindo, temos para todo
Passo 3
Para c)
De acordo com o livro, o teorema 1-1(2) é:
Bom, para os limites, façamos e e para todo para Então do item a temos:
E obtemos o resultado esperado.
Resposta
Para b)
Não, poderíamos , por exemplo, variar f até um ponto diacreto sem mudar os valores da integral. Se g e f são contínuos, então a afirmação é verdadeira. Suponha que para cada , há um com então a desigualdade se mantem verdadeiro em um vizinhança aberta de x desde que f e g sejam continuas, né?! Então desde que o integrando seja sempre não não negativo e positivo somente no subintervalo de [a,b]. Abrindo, temos para todo