Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial ẏ - 2ty = t ?

Passo 1

Vamos nessa, o que o enunciado nos pede é para verificarmos se cada uma das funções que ele nos deu faz EDO zerar. Para essa verificação, iremos derivar as possíveis soluções e aplicar os valores de y e y ˙ na equação diferencial abaixo:

y ˙ - 2 t y = t

E outro ponto importante, y ˙ nada mais é do que a função y derivada no tempo.

Passo 2

Derivando uma das possíveis soluções para aplicá-la na equação diferencial:

y = 2

y ˙ = 0

Agora vamos aplicar na EDO:

y ˙ - 2 t y = t

0 - 2 t ( 2 ) = t

- 4 t = t

Como, não zeramos a equação diferencial, a primeira função não é solução.

Passo 3

Verificando a segunda possível solução.

y = - 1 2

y ˙ = 0

Aplicando na equação diferencial, temos:

y ˙ - 2 t y = t

0 - 2 t - 1 2 = t

t = t

Zeramos a função, sendo assim, achamos uma das soluções.

Passo 4

Já conhecemos esse processo, primeiro derivamos, vamos lá!!

y = e t 2

y ˙ = 2 t e t 2

Aplicando na EDO:

y ˙ - 2 t y = t

2 t e t 2 - 2 t e t 2 = t

0 = t

Não é solução.

Passo 5

Encontrando a derivada.

y = e t 2 - 1 2

y ˙ = 2 t e t 2

Aplicando na equação diferencial:

y ˙ - 2 t y = t

2 t e t 2 - 2 t e t 2 - 1 2 = t

2 t e t 2 - 2 t e t 2 + t = t

Olha o que temos aqui, uma solução para a equação diferencial!

Passo 6

Bora para mais derivadas:

y = - 7 e t 2 - 1 2

y ' = - 14 t e t 2

Aplicando na equação diferencial:

y ˙ - 2 t y = t

- 14 t e t 2 - 2 t - 7 e t 2 - 1 2 = t

14 t e t 2 - 14 e t + t = t

Mais uma solução para a equação diferencial.

Resposta

  1. Não é solução;
  2. Solução;
  3. Não é solução;
  4. Solução;
  5. Solução;