Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial?

Passo 1

Bora para mais uma, o que o enunciado nos pede é para verificarmos se cada uma das funções que ele nos deu faz EDO zerar. Para essa verificação, iremos derivar as possíveis soluções e aplicar os valores de y na equação diferencial abaixo:

d y d x = 2 y 4 + x 4 x y 3

Devemos lembrar da seguinte relação:

y ' = d y d x

Passo 2

Derivando a função para aplicá-la na equação diferencial:

y = x

y ' = 0

Agora vamos aplicar na EDO:

y ' = 2 y 4 + x 4 x y 3

0 = 2 x 4 + x 4 x 4

0 = 3

Sendo assim, a função não é solução da EDO.

Passo 3

Verificando a segunda possível solução.

y = x 8 - x 4

y ' = 8 x 7 - 4 x 3

Aplicando na equação diferencial, temos:

y ' = 2 y 4 + x 4 x y 3

8 x 7 - 4 x 3 = 2 x 8 - x 4 4 + x 4 x x 8 - x 4 3

Não se pode zerar a função, então não é solução.

Passo 4

Bora para mais uma!!

y = x 8 - x 4

Utilizando a regra da cadeia para derivar, achamos:

y ' = 8 x 7 - 4 x 3 2 x 8 - x 4

Aplicando na EDO:

y ' = 2 y 4 + x 4 x y 3

8 x 7 - 4 x 3 2 x 8 - x 4 = 2 x 8 - x 4 4 / 2 + x 4 x x 8 - x 4 3 / 2

Logo, como não zeramos a equação diferencial, a função não é solução.

Passo 5

Derivando:

y = ( x 8 - x 4 )

y ' = 8 x 7 - 4 x 3 4 x 8 - x 4 3 / 4

Substituindo os valores na equação diferencial.

8 x 7 - 4 x 3 4 x 8 - x 4 3 / 4 = 2 x 8 - x 4 4 / 4 + x 4 x x 8 - x 4 3 / 4

8 x 7 - 4 x 3 4 = 2 x 8 - 2 x 4 + x 4 x

8 x 7 - 4 x 3 = 8 x 7 - 4 x 3

Finalmente, uma solução para a equação diferencial.

Resposta

  1. Não é solução;
  2. Não é solução;
  3. Não é solução;
  4. Solução;