Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y'' - y = 0 ?

Passo 1

Bora para mais uma, o que o enunciado nos pede é para verificarmos se cada uma das funções que ele nos deu faz EDO zerar. Para essa verificação, iremos derivar as possíveis soluções e aplicar os valores de y na equação diferencial abaixo:

y ' ' - y = 0

Passo 2

Derivando a função para aplicá-la na equação diferencial:

y = e x

y ' = e x

y ' ' = e x

Agora vamos aplicar na EDO:

y ' ' - y = 0

e x - e x = 0

Sendo assim, encontramos uma solução para a EDO.

Passo 3

Verificando a segunda possível solução.

y = s e n ( x )

y ' = cos ⁡ x

y ' ' = - s e n ( x )

Aplicando na equação diferencial, temos:

y ' ' - y = 0

- s e n x - s e n x = 0

- 2 s e n x = 0

Não se pode zerar a função, então não é solução.

Passo 4

Bora para mais uma!!

y = 4 e - x

y ' = - 4 e - x

y ' ' = 4 e - x

Aplicando na EDO:

y ' ' - y = 0

4 e - x - 4 e - x = 0

Logo, como zeramos a equação diferencial, a função é solução.

Passo 5

Derivando:

y = 0

y ' = 0

y ' ' = 0

Substituindo os valores na equação diferencial:

y ' ' - y = 0

0 - 0 = 0

Então, a função é solução.

Passo 6

Derivando.

y = 1 2 x 2

y ' = x

y ' ' = 1

Aplicando na equação diferencial:

y ' ' - y = 0

1 - x 2 2 = 0

Não é solução.

Resposta

  1. Solução;
  2. Não é solução;
  3. Solução;
  4. Solução;
  5. Não é solução.