Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial x¨ - 4x˙ + 4x = e^t ?

Passo 1

Bora para mais uma, o que o enunciado nos pede é para verificarmos se cada uma das funções que ele nos deu faz EDO zerar. Para essa verificação, iremos derivar as possíveis soluções e aplicar os valores de y na equação diferencial abaixo:

x ¨ - 4 x ˙ + 4 x = e t

Neste caso, o x ¨ quer dizer a segunda derivada da função x em relação a t .

Passo 2

Derivando a função para aplicá-la na equação diferencial:

x = e t

x ˙ = e t

x ¨ = e t

Agora vamos aplicar na EDO:

x ¨ - 4 x ˙ + 4 x = e t

e t - 4 e t + 4 e t = e t

Sendo assim, encontramos uma solução para a EDO.

Passo 3

Verificando a segunda possível solução.

x = e 2 t

x ˙ = 2 e 2 t

x ¨ = 4 e 2 t

Aplicando na equação diferencial, temos:

x ¨ - 4 x ˙ + 4 x = e t

4 e 2 t - 8 e 2 t + 4 e 2 t = e t

0 = e t

Não se pode zerar a equação, então não é solução.

Passo 4

Bora para mais uma!!

x = e 2 t + e t

x ˙ = 2 e 2 t + e t

x ¨ = 4 e 2 t + e t

Aplicando na EDO:

x ¨ - 4 x ˙ + 4 x = e t

4 e 2 t + e t - 8 e 2 t - 4 e t + 4 e 2 t + 4 e t = e t

e t = e t

Logo, como zeramos a equação diferencial, a função é solução.

Passo 5

Derivando:

x = t e 2 t + e t

x ˙ = e 2 t + 2 t e 2 t + e t

x ¨ = 4 e 2 t + 4 t e 2 t + e t

Substituindo os valores na equação diferencial:

x ¨ - 4 x ˙ + 4 x = e t

4 e 2 t + 4 t e 2 t + e t - 4 e 2 t - 8 t e 2 t - 4 e t + 4 t e 2 t + 4 e t = e t

e t = e t

Então, a função é solução.

Passo 6

Derivando.

x = e 2 t + t e t

x ˙ = 2 e 2 t + e t + t e t

x ¨ = 4 e 2 t + 2 e t + t e t

Aplicando na equação diferencial:

x ¨ - 4 x ˙ + 4 x = e t

4 e 2 t + 2 e t + t e t - 8 e 2 t - 4 e t - 4 t e t + 4 e 2 t + 4 t e t = e t

t e t - 2 e t = e t

Não é solução.

Resposta

  1. Solução;
  2. Não é solução;
  3. Solução;
  4. Solução;
  5. Não é solução.