Segundo a lei de Stefan de radiação, a temperatura absoluta T de um corpo esfriando em um meio à temperatura absoluta constante T_m é dada por

dT / dt = k (T^4 - Tm^4)

onde k é uma constante. A lei de Stefan pode ser aplicada em um intervalo de temperatura maior que a lei de Newton.

a) Resolva a equação diferencial.

b) Mostre que quando T - T_m é pequeno comparado com T_m , a lei de Newton de resfriamento tende à lei de Stefan. [Sugestão: Veja o lado direito da ED como uma série binomial.]

Passo 1

(a) Deixe d v d t = v d v d y então m d v d t = - m g - k v 2 se torna m v d v d y = - m g - k v 2 , Usando y ( 0 ) = 0 e v ( 0 ) = v 0 isso significa que v 2 = m g + k v 0 2 k e - 2 k y / m - m g k . Se v = 0 então o peso máximo h = m 2 k l n ⁡ m g + k v 0 2 m g . A partir de m v d v d y = m g - k v 2 , v ( 0 ) = 0 , e y ( 0 ) = 0 encontramos v 2 = m g k 1 - e - 2 k y / m . Deixe y → ∞ vemos que a velocidade terminal é v = m g / k esta é a raiz quadrada do resultado obtido no Problema 27 dos Exercícios 3.2.

Passo 2

(b) Deixando y = h vemos que a velocidade de impacto é v i = v 0 1 + k m g v 0 2 .

Resposta

a v = m g / k

(b) v i = v 0 1 + k m g v 0 2 .