Seja ABCD um quadrilátero qualquer, não necessariamente plano, no espaço. Mostre que os dois segmentos que ligam os pontos médios dos lados opostos de ABCD se cortam ao meio. (Sugestão: mostre que os segmentos têm o mesmo ponto médio).

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e a geometria do espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 2 sobre teoria e aplicações de vetores e geometria espacial.

Analisando o enunciado, e sem perda de generalidade identificamos os vértices do quadrilátero tais que:

A   0 ,   0 ,   0 ,   B   x B ,   0 ,   0 ,   C   x C ,   y C ,   0   e   D   x D ,   y D ,   z D

O ponto médio de AB é:

M A B 0 + x B 2 , 0 + 0 2 , 0 + 0 2 = x B 2 , 0 ,   0

O ponto médio de BC:

M B C x B + x C 2 , 0 + y C 2 , 0 + 0 2 = x B + x C 2 , y C 2 , 0

O ponto médio de CD é:

M C D x C + x D 2 , y C + y D 2 , 0 + z D 2 = x C + x D 2 , y C + y D 2 , z D 2

E o ponto médio de AD é:

M A D 0 + x D 2 , 0 + y D 2 , 0 + z D 2 = x D 2 , y D 2 , z D 2

Passo 2

Os pontos médios dos segmentos que ligam os pontos médios são:

M A B M C D = x B 2 + x C + x D 2 2 , y C + y D 2 2 ,   z D 2 2 = x B + x C + x D 4 ,   y C + y D 4 ,   z D 4

E:

M B C M A D = x B + x C 2 + x D 2 2 ,   y C 2 + y D 2 2 ,   0 + z D 2 2 = x B + x C + x D 4 ,   y C + y D 4 ,   z D 4

Como os pontos médios desses segmentos são iguais, eles se cortam ao meio.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.