Enunciado

Seja T atransformação do Exercício 1.

(a) O jacobiano ∂ ( x ,   y ) / ∂ ( u ,   v )   de T é __________.

(b) Seja R a região do Exercício 1(a). Preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integração que faltam na mudança de variáveis dada por T .

∬ R e x + 2 y d A =   ∫ ∫ _ _ _ _ _ _ _ _ _ d u d v

Passo 1

Bora galera iniciar mais uma questão!

Do exercício 1, temos as seguintes informações:

A imagem é a região do plano xy englobada pelo paralelogramo de vértices (1, 3), (−3, 5), (−1, 11) e (3, 9)

x   =   u   -   2 v ,   y   =   3 u   +   v

1   ≤   u   ≤   3 ,   0   ≤   v   ≤   2

u = x + 2 y 7

v = y - 3 x 7

Passo 2

Letra (a) para encontrar ∂ ( x ,   y ) / ∂ ( u ,   v ) , temos que achar:

∂ x ∂ u = 1

∂ x ∂ v = - 2

∂ y ∂ u = 3

∂ x ∂ v = 1

Considerando que:

∂ x ,   y ∂ u ,   v = ∂ x ∂ u   ∂ x ∂ v   ∂ y ∂ u   ∂ y ∂ v   = 1   - 2   3   1   = 1 + 6 = 7

Passo 3

Letra (b) Considerando 1   ≤   u   ≤   3 ,   0   ≤   v   ≤   2

x + 2 y = u   -   2 v + 2 3 u   +   v = 7 u

Temos:

∬ R e x + 2 y d A =   ∫ 0 2 ∫ 1 3 e 7 u d u d v

Passo 4

Resposta

a )   7

b )   ∫ 0 2 ∫ 1 3 7 e 7 u d u d v

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