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3. Seja s = s x dada por s x = ∑ k = 1 + ∞ k + 1 x k . Prove que, para todo t   ∈   ] - 1,1 [ ,

∫ 0 t s x d x = t 2 1 - t

Conclua que, para todo   x ∈   ] - 1,1 [ ,

∑ k = 1 + ∞ k + 1 x k = 2 x - x 2 1 - x 2

Passo 1

Seja s x = ∑ k = 1 + ∞ k + 1 x k . Como a série ∑ k = 1 + ∞ k + 1 x k é convergente para 0 ≤ r < 1 e para x ≤ r , k + 1 x k ≤ k + 1 r k , segue que a série ∑ k = 1 + ∞ k + 1 x k é uniformemente convergente em - r , r ,     0 ≤ r < 1 , à função s x = ∑ k = 1 + ∞ k + 1 x k . Assim, em - r , r ,     0 ≤ r < 1 , é válida a integração termo a termo:

∫ 0 t s x d x = ∑ k = 1 + ∞ ∫ 0 t k + 1 x k d x = ∑ k = 1 ∞ t k + 1 = t 2 1 - t ,   t < 1 .

Passo 2

Temos

d d t ∫ 0 t s x d x = d d t t 2 1 - t = 2 t - t 2 1 - t 2 .  

Pelo teorema fundamental do calculo, d d t ∫ 0 t s x d x = s t , logo,

s x = ∑ k = 1 + ∞ k + 1 x k = 2 x - x 2 1 - x 2

Resposta

Demonstração.

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