Seja

f(x) = lg( (1 + x) / (1 - x) )

Demonstrar que

f(x) + f(y) = f((x + y) / (1 + xy))

Passo 1

Fala galera! Vamos fazer a demonstração pedida!

Primeiro, sabemos que:

f (x) = lg (1 + x)/(1 - x)

f (y) = lg ((1 + y)/(1 - y))

Então, segundo a igualdade dada:

f (x) + f (y) = f ((x + y)/(1 + x y))

Sabemos que:

f ((x + y)/(1 + x y)) = lg ((1 + ((x + y)/(1 + x y)))/(1 - ((x + y)/(1 + x y))))

Desenvolvendo:

f ((x + y)/(1 + x y)) = lg (((1 + x y + x + y)/(1 + x y))/((1 + x y - x - y)/(1 + x y)))

f ((x + y)/(1 + x y)) = lg ((1 + x y + x + y)/(1 + x y - x - y))

Assim, nossa igualdade será:

lg (1 + x)/(1 - x) + lg ((1 + y)/(1 - y)) = lg ((1 + x y + x + y)/(1 + x y - x - y))

Pelas propriedades do logaritmo, sabemos que:

log_a b + log_a c = log_a ( b * c )

Então, teremos:

lg (((1 + x)/(1 - x)) * ((1 + y)/(1 - y))) = lg ((1 + x y + x + y)/(1 + x y - x - y))

lg ((1 + y + x + x y)/(1 - y - x + x y)) = lg ((1 + x y + x + y)/(1 + x y - x - y))

Podemos igualar os logaritmandos. Logo, teremos:

((1 + y + x + x y)/(1 - y - x + x y)) = ((1 + x y + x + y)/(1 + x y - x - y))

Como podemos ver, a igualdade é verdadeira!

Resposta

Assim comprovamos que se f (x) = lg (1 + x)/(1 - x) , então a seguinte igualdade é verdadeira:

f (x) + f (y) = f ((x + y)/(1 + x y))

E aí, conseguiu acompanhar aí?