Seja φ(x) = (1 / 2) * (a^x + a^(-x)) e ψ(x) = 1/2 * (a^x - a^(-x)) .

Demonstrar que

φ(x + y) = φ(x)φ(y) + ψ(x)ψ(y)

e

ψ(x + y) = φ(x) * ψ(y) + φ(y) * ψ(x)

Passo 1

Fala galera! Vamos fazer a demonstração pedida!

Temos:

phi (x) = (1)/(2) (a^x + a^(- x)) e psi (x) = (1)/(2) ( a^x - a^(- x) )

Então:

phi (x + y) = phi (x) phi (y) + psi (x) psi (y)

(1)/(2) (a^(( x + y )) + a^(- ( x + y ))) = [(1)/(2) (a^x + a^(- x))] [(1)/(2) (a^y + a^(- y))] + [(1)/(2) ( a^x - a^(- x) )] [(1)/(2) ( a^y - a^(- y) )]

((a^((x + y)) + a^(- (x + y))))/(2) = [((a^(x + y) + a^(x - y) + a^(y - x) + a^(- x - y)))/(4) + ((a^(x + y) - a^(x - y) - a^(y - x) + a^(- x - y)))/(4)]

((a^((x + y)) + a^(- (x + y))))/(2) = (a^(x + y) + a^(x - y) + a^(y - x) + a^(- x - y) + a^(x + y) - a^(x - y) - a^(y - x) + a^(- x - y))/(4)

Somando e cancelando os termos:

((a^((x + y)) + a^(- (x + y))))/(2) = (2 a^(x + y) + 2 a^(- x - y))/(4)

(a^(x + y) + a^(- x - y))/(2) = (2)/(2) ((a^(x + y) + a^(- x - y))/(2))

(a^(x + y) + a^(- x - y))/(2) = (a^(x + y) + a^(- x - y))/(2)

Portanto, a igualdade phi (x + y) = phi (x) phi (y) + psi (x) psi (y) é verdadeira!

Passo 2

Vamos demonstrar agora a segunda igualdade:

psi (x + y) = phi (x) psi (y) + phi (y) psi ( x )

Assim teremos:

(1)/(2) (a^(x + y) - a^(- (x + y))) = [(1)/(2) ( a^x + a^(- x) )] [(1)/(2) ( a^y - a^(- y) )] + [(1)/(2) ( a^y + a^(- y) )] [(1)/(2) ( a^x - a^(- x) )]

(a^(x + y) - a^(- x - y))/(2) = [(a^(x + y) - a^(x - y) + a^(y - x) - a^(- x - y))/(4)] + [(a^(x + y) - a^(y - x) + a^(x - y) - a^(- x - y))/(4)]

(a^(x + y) - a^(- x - y))/(2) = (1)/(2) [(a^(x + y) - a^(x - y) + a^(y - x) - a^(- x - y) + a^(x + y) - a^(y - x) + a^(x - y) - a^(- x - y))/(2)]

Somando e cancelando alguns termos, temos:

(a^(x + y) - a^(- x - y))/(2) = (1)/(2) [(2 a^(x + y) - 2 a^(- x - y))/(2)]

(a^(x + y) - a^(- x - y))/(2) = (a^(x + y) - a^(- x - y))/(2)

Portanto, a igualdade psi (x + y) = phi (x) psi (y) + phi (y) psi ( x ) também é verdadeira!

Resposta

Assim comprovamos que ambas as igualdades dadas são verdadeiras!

Compreendeu aí? Ficou com alguma dúvida no desenvolvimento?