5. Seja f, g: I → R deriváveis até a 2^a ordem no intervalo I . Seja W = W(x) , x ∈ I , o wronskiano de f e g . Suponha que f e g sejam linearmente independentes e que existam x₀ e x_1 em I tais que W(x₀) = 0 e W(x₁) ≠ 0 . Existe equação y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 , com p e q contínuas em I , que admita f e g como soluções? Explique.

Passo 1

Ora, pelo teorema da nossa teoria sabemos que só existe soluções f e g definidas em um intervalo I se em o wronskiano for diferente de 0 em todo esse intervalo.

Mas veja que existe um ponto x 0 ∈ I em que o wronskiano é nulo, logo não há como possuir soluções f e g no intervalo I .

Outra forma de verificar isso é que o wronskiano deve ser diferente de 0 já que f e g são supostas soluções LI. Como o Wronskiano é 0 em um ponto, f e g , mesmo sendo LI não podem ser soluções.

Resposta

Não admite f e g como soluções.

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