Enunciado

Seja C a fronteira da região delimitada por y   =   x 2 e y   =   2 x . Supondo que C esteja orientada no sentido anti-horário, calcule as integrais seguintes usando o Teorem a de Green:

a )   ∮ C ( 6 x y - y 2 ) d x

b )   ∮ C ( 6 x y - y 2 ) d y

Passo 1

Vamos resolver mais essa questão, galera!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Letra (a) inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = 6 x y - y 2 ; g   x ,   y = 0

∂ g ∂ x = 0

∂ f ∂ y = 6 x - 2 y

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C ( 6 x y - y 2 ) d x = ∫ 0 1 ∫ 2 x x 2 - 6 x + 2 y d y d x = ∫ 0 1 - 6 x y + y 2 2 x x 2 d x = ∫ 0 1 - 6 x 3 + x 4 + 12 x 2 - 4 x 2 d x = ∫ 0 1 - 6 x 3 + x 4 + 8 x 2 d x = - 6 x 4 4 + x 5 5 + 8 x 3 3 0 1 = - 3 2 + 1 5 + 8 3 = - 45 + 6 + 80 30 = 41 30

Passo 3

Letra (b) do mesmo modo, inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

g   x ,   y = 6 x y - y 2 ; f   x ,   y = 0

∂ g ∂ x = 6 x

∂ f ∂ y = 0

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C ( 6 x y - y 2 ) d y = ∫ 0 1 ∫ 2 x x 2 6 x d y d x = ∫ 0 1 6 x y 2 x x 2 d x = ∫ 0 1 6 x 3 - 12 x 2 d x = 6 x 4 4 - 12 x 3 3 0 1 = 3 2 - 4 = 3 - 8 2 = - 5 2

Resposta

a )   41 30

b )   - 5 2

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