Seja f uma função contínua em todo ponto de R , mas que só pode assumir valores inteiros. Use o teorema do valor intermediário para concluir que f é necessariamente uma função constante.

Passo 1

Eaew, não desiste agora que vamos te ajudar, okay?

Antes de qualquer coisa, vamos relembrar o que nos diz o “teorema do valor intermediário”. É bastante simples, olhe só!

Este teorema pede uma coisinha bem simples: A função f deve ser contínua em um intervalo fechado [ a , b ] . E isso garante para a gente que se temos um valor qualquer k que esteja entre f ( a ) e f ( b ) , então temos que existe com certeza um valor de x = c tal que f ( c ) = k .

Agora, vamos por partes até a conclusão que o problema espera de nós!

Passo 2

O enunciado nos garante que esta função é contínua! Muito bem, no entanto ele nos pede que esta função tome apenas valores inteiros. Vamos analisar uma função qualquer f ( x ) em um intervalo fechado qualquer [ a ; b ] .

Se nós tivermos que para um número c dentro do intervalo [ a , b ] , tal que:

f ( c ) = k

Aqui nós temos que k é um número inteiro, e pelo teorema, se k está entre f ( a ) e f ( b ) , então definitivamente o resultado acima existe, uma vez que f é contínua. Mas como isso resolve algo para nós?

Passo 3

Se considerarmos qualquer outro valor de x no intervalo [ a , b ] , a função nos retornaria apenas valores inteiros da forma k ± 1 . Isso, no entanto, nos indica uma descontinuidade nesta função, a menos que para todo valor de x , tenhamos que f ( x )   =   k , ou seja, uma constante.

Resposta

A resposta está ao longo do desenvolvimento do Passo 3.