Seja uma função contínua em todo ponto de , mas que só pode assumir valores inteiros. Use o teorema do valor intermediário para concluir que é necessariamente uma função constante.
Passo 1
Eaew, não desiste agora que vamos te ajudar, okay?
Antes de qualquer coisa, vamos relembrar o que nos diz o “teorema do valor intermediário”. É bastante simples, olhe só!
Este teorema pede uma coisinha bem simples: A função deve ser contínua em um intervalo fechado . E isso garante para a gente que se temos um valor qualquer que esteja entre e , então temos que existe com certeza um valor de tal que .
Agora, vamos por partes até a conclusão que o problema espera de nós!
Passo 2
O enunciado nos garante que esta função é contínua! Muito bem, no entanto ele nos pede que esta função tome apenas valores inteiros. Vamos analisar uma função qualquer em um intervalo fechado qualquer .
Se nós tivermos que para um número dentro do intervalo , tal que:
Aqui nós temos que é um número inteiro, e pelo teorema, se está entre e , então definitivamente o resultado acima existe, uma vez que é contínua. Mas como isso resolve algo para nós?
Passo 3
Se considerarmos qualquer outro valor de no intervalo , a função nos retornaria apenas valores inteiros da forma . Isso, no entanto, nos indica uma descontinuidade nesta função, a menos que para todo valor de , tenhamos que , ou seja, uma constante.
Resposta
A resposta está ao longo do desenvolvimento do Passo 3.