Seja uma função definida pela equação . Certifique-se de que e que possuem sinais contrários e contudo não existe um número entre e tal que . Explique por que isto não contradiz o teorema do valor intermediário.
Passo 1
Oiii, tudo certinho neste belo dia de estudos?
Este problema está tentando fixar para você uma característica bastante importante do “teorema do valor intermediário”, então vamos com bastante calma a partir daqui, okay?
Primeiro, vamos verificar se existe um número entre , tal que . Assim como o enunciado nos pede.
Passo 2
Isso é bastante fácil, vamos forçar a condição . Isso nos dá:
Essa equação que montamos acima só é para um valor bem específico de , . Mas este valor está fora do intervalo considerado, portanto não existe nenhum valor de dentro de tal que . Beleza, mostramos isso!!! Agora, por quê isso não é contraditório com o “teorema do valor intermediário”?
Passo 3
Este teorema pede uma coisinha bem simples: A função deve ser contínua em um intervalo fechado . E isso garante para a gente que se temos um valor qualquer que esteja entre e , então temos que existe com certeza um valor de tal que .
Se temos que e (ou vice e versa) nas condições acima, com certeza teremos um valor de , tal que . Onde então nossa função definida no enunciado falha? É bem simples!! A função dada não é contínua no intervalo dado! Olha só:
Como todos nós já sabemos desde pequenininhos, dividir por 0 é impossível! Mas o que isso quer dizer?
Passo 4
Quer dizer que para temos uma descontinuidade em . Portanto, mesmo que o teorema aparente falhar para esta função específica, devemos tomar cuidado, pois a validade do teorema requer que seja contínua!
Resposta
A resposta está ao longo do desenvolvimento do Passo 3.