Seja f uma função definida pela equação f(x) = (x + 1) / (x^2 - 4) . Certifique-se de que f(0) = -1/4 e que f(3) = 4 / 5 possuem sinais contrários e contudo não existe um número c entre 0 e 3 tal que f(c) = 0 . Explique por que isto não contradiz o teorema do valor intermediário.

Passo 1

Oiii, tudo certinho neste belo dia de estudos?

Este problema está tentando fixar para você uma característica bastante importante do “teorema do valor intermediário”, então vamos com bastante calma a partir daqui, okay?

Primeiro, vamos verificar se existe um número c entre [ 0,3 ] , tal que f ( c ) = 0 . Assim como o enunciado nos pede.

Passo 2

Isso é bastante fácil, vamos forçar a condição f ( c ) = 0 . Isso nos dá:

f ( c ) = 0   →   0   = c + 1 c 2 - 4

Essa equação que montamos acima só é 0 para um valor bem específico de c , c = - 1 . Mas este valor está fora do intervalo considerado, portanto não existe nenhum valor de c dentro de [ 0,1 ] tal que f ( c ) = 0 . Beleza, mostramos isso!!! Agora, por quê isso não é contraditório com o “teorema do valor intermediário”?

Passo 3

Este teorema pede uma coisinha bem simples: A função f deve ser contínua em um intervalo fechado [ a , b ] . E isso garante para a gente que se temos um valor qualquer k que esteja entre f ( a ) e f ( b ) , então temos que existe com certeza um valor de x = c tal que f ( c ) = k .

Se temos que f ( a ) < 0 e f ( b ) > 0 (ou vice e versa) nas condições acima, com certeza teremos um valor de c , tal que f ( c ) = 0 . Onde então nossa função definida no enunciado falha? É bem simples!! A função f dada não é contínua no intervalo dado! Olha só:

f ( 2 ) = ( 2 ) + 1 ( 2 ) 2 - 4 = 3 0

Como todos nós já sabemos desde pequenininhos, dividir por 0 é impossível! Mas o que isso quer dizer?

Passo 4

Quer dizer que para x = 2 temos uma descontinuidade em f . Portanto, mesmo que o teorema aparente falhar para esta função específica, devemos tomar cuidado, pois a validade do teorema requer que f seja contínua!

Resposta

A resposta está ao longo do desenvolvimento do Passo 3.