Seja f ( x ) a função (Figura 17)

f x = x 2 + 3 ,     p a r a   x < 1 10 - x ,     p a r a   1 ≤ x ≤ 2 6 x - x 2 ,     p a r a   x > 2

Mostre que f ( x ) é contínua para x ≠ 1,2 . Em seguida, calcule os limites laterais em x = 1   e   2 e determine se f ( x ) é contínua pela esquerda, contínua pela direta ou contínua nesses pontos.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

As funções que são dadas são as seguintes:

y 1 = x 2 + 3

y 2 = 10 - x

y 3 = 6 x - x 2

Como são funções polinomiais, então são contínuas usando o teorema da continuidade de funções polinomiais e racionais, logo, são contínuas na reta real.

Quando temos x = 1 , podemos analisar os seguintes limites

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 + 3 = 4

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ 10 - x = 9

Quando calculamos o limite esquerdo de f em x = 1, x se aproxima de 1 pela esquerda, de modo que tem que ser menor que 1. Portanto, calculamos o limite da função y 1 . É o mesmo com limite à direita e a função y 2 .

f 1 = 9 = lim x → 1 + ⁡ f x

Portanto, f é contínua pela direta em x = 1 .

Passo 2

Em x = 2 , nós temos que

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ 10 - x = 8

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ 6 x - x 2 = 8

Usamos o mesmo método para calcular os limites esquerdo e direito da função definida

f 2 = 8

Portanto, f é contínua em x = 1 .

Resposta

f   é   c o n t í n u a   p e l a   d i r e i t a   e m   x = 1   e   c o n t í n u a   e m   x = 2