Seja f(x) = x^n com n inteiro positivo. Utilizar o teorema do binômio para desenvolver e deduzir a fórmula.

f(x + h) - f(x) / h = n * x^(n - 1) + n(n - 1) / 2 * x^(n - 2) * h + ... + n * x * h^(n - 2) + h^(n - 1)

Exprimir a soma do segundo membro recorrendo ao símbolo somático. Faça-se h → 0 e concluir derivado doutro modo no Exemplo 3

Passo 1

O nosso primeiríssimo passo é manjar desse tal de Teorema do Binômio, vamos relembrar? Bom, o teorema do binômio é uma equação que nos diz como uma expressão da forma  a   +   b n se desenvolve para um número natural n, também nos permite saber, por um termo dado por a k b n-k, qual é o coeficiente que o acompanha.. Desenvolvendo a soma, temos que:

Passo 2

Belezinha, agora vamos usar esse teorema maroto, reescrevendo a função f(x) como a soma de duas funções, teremos:

f x + h - f ( x ) h = x + h n - x n h

Pera que a gente ainda não terminou, o enunciado pediu que provássemos a fórmula da soma de funções com o símbolo somático, logo:

x + h n = ∑ j = 0 n n j x n - j   h j

Ou de uma forma diferente

x + h n - x n h = ∑ j = 1 n n j   x n - j   h j h = ∑ j = 1 n n j x n - j   h j - 1

Passo 3

Outro ponto da questão é aplicar o limite na função quando h → 0 , o que será que acontece??

x + h n - x n h   = n 1 x n - 1 = n x n - 1

Resposta

x + h n - x n h = ∑ j = 1 n n j   x n - j   h j h = ∑ j = 1 n n j x n - j   h j - 1

x + h n - x n h   = n 1 x n - 1 = n x n - 1