Seja R a interseção dos círculos de raio 1 centrados em (1, 0) e (0, 1) . Expresse como uma integral (mas não a calcule): (a) a área de R e (b) o volume do sólido de revolução de R em torno do eixo x .

Passo 1

Falaaa, como vai?? As equações que definem os círculos são:

x - 1 2 + y 2 = 1

x 2 + y - 1 2 = 1

Para definirmos a área usaremos a seguinte fórmula:

A = ∫ a b f x - g x d x

E para encontrarmos o volume:

V = π ∫ a b f x 2 - g x 2 d x

Vamos para o exemplo!!

Passo 2

Deixando as funções dos círculos com o y em evidência encontramos:

y = ± 1 - x - 1 2

y = 1 ± 1 - x 2

A função que limita a parte superior é y = 1 - x - 1 2 e a inferior y = 1 ± 1 - x 2 . Substituindo os valores definidos na fórmula.

A = ∫ 0 1 1 - x - 1 2 - 1 + 1 - x 2 d x

Para acharmos o volume usamos os mesmos valores.

V = π ∫ 0 1 1 - x - 1 2 2 - 1 + 1 - x 2 2 d x

V = π ∫ 0 1 1 - x - 1 2 - 1 + 2 1 - x 2 - 1 - x 2 d x

V = π ∫ 0 1 2 1 - x 2 - 1 - x 2 - x - 1 2 d x

Resposta

A = ∫ 0 1 1 - x - 1 2 - 1 + 1 - x 2 d x

V = π ∫ 0 1 2 1 - x 2 - 1 - x 2 - x - 1 2 d x