Seja a matriz fundamental satisfazendo . No texto, denotamos essa matriz também por Neste problema vamos mostrar tem, de fato, as propriedades algébricas principais associadas à função exponencial.
a) Mostre que ou seja,
b) Mostre que , ou seja, . Depois mostre que
c) Mostre que
Passo 1
Saudações galerinha! Tudo bem?
Vamos juntos resolver mais um exercício?
Todos afiados em propriedades de sistemas matriciais?
Bora lá começar então!
Primeiramente vamos definir que arbitrário, mas fixo, e variável. Semelhante ao argumento do Problema 13, as colunas da matriz são combinações lineares fundamentais e características deste tipo de sistema.
Logo podemos afirmar que compõem a solução do sistema de equação.
Além desses lembretes, vamos definir também que para
Ou seja será também uma solução do problema inicial.
Até aí, tranquilo?

Não podemos esquecer que essa conclusão foi tomada levando em consideração a sugestão fornecida pelo exercício.
Continuando vamos realizar uma mudança de variável:
Aplicando na sugestão do problema, teremos:
Com essa mudança de variável podemos reformular o problema inicial.
O danadinho ficará assim:
Ei!
Não podemos esquecer que é uma matriz fundamental que satisfaz:
Continuando:
]=
Isso é:
Passo 2
Neste item vamos continuar o mesmo raciocínio das demonstrações das propriedades anteriores. Beleza!
Vamos nos basear que:
Lembrando que essa prova só pode ser feita se levarmos em consideração a sugestão fornecida pelo exercício.
Quase acabando!
Último item!
Passo 3
Neste item vamos continuar o mesmo raciocínio das demonstrações das propriedades anteriores. Beleza!
Vamos nos basear que:
Lembrando que essa prova só pode ser feita se levarmos em consideração a sugestão fornecida pelo exercício.
Te vejo na próxima questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)