Seja ∅(t) a matriz fundamental satisfazendo ∅' = A ∅, ∅{0} = I . No texto, denotamos essa matriz também por e^xp(A t) Neste problema vamos mostrar tem, de fato, as propriedades algébricas principais associadas à função exponencial.

a) Mostre que ∅(t) ∅(s) = ∅(t + s) ou seja, e^(xp(A(t))) * e^(xp(A(s))) = e^(xp[A(t+s)])

b) Mostre que ∅(t) ∅(-t) = I , ou seja, e^(xp(A t)) * e^(xp[A(-t)]) = I . Depois mostre que ∅(-t) = ∅^(-1)(t)

c) Mostre que ∅(t - s) = ∅(t) ∅^(-1)(t)

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Todos afiados em propriedades de sistemas matriciais?

Bora lá começar então!

Primeiramente vamos definir que   s arbitrário, mas fixo, e t variável. Semelhante ao argumento do Problema 13, as colunas da matriz ∅ t ∅ s são combinações lineares fundamentais e características deste tipo de sistema.

Logo podemos afirmar que ∅ t ∅ s   compõem a solução do sistema de equação.

Além desses lembretes, vamos definir também que para t = 0 :

  ∅ 0 ∅ s = I ∅ s =   ∅ s    

Ou seja ∅ t ∅ s será também uma solução do problema inicial.

Até aí, tranquilo?

Não podemos esquecer que essa conclusão foi tomada levando em consideração a sugestão fornecida pelo exercício.

Z ' = A Z   c o m   Z 0 = ∅ s

Continuando vamos realizar uma mudança de variável:

τ = t + s

Aplicando na sugestão do problema, teremos:

W τ = Z ( τ - s )

Com essa mudança de variável podemos reformular o problema inicial.

O danadinho ficará assim:

d d τ W = A W       s e n d o   W s =   ϕ ( s )

Ei!

Não podemos esquecer que ∅ t é uma matriz fundamental que satisfaz:

∅ ' t = A ∅       c o m   ∅ 0 = I

Continuando:

W τ = [ ∅ ( τ ) ∅ - 1 ( s ) ]   ϕ ( s ) =   ϕ ( τ )

Isso é:

∅ t + s = ∅ t = W τ = Z τ = ∅ t ∅ s

Passo 2

Neste item vamos continuar o mesmo raciocínio das demonstrações das propriedades anteriores. Beleza!

Vamos nos basear que:

∅ t ∅ - t = ∅ t + - t =   ∅ 0 = I

Lembrando que essa prova só pode ser feita se levarmos em consideração a sugestão fornecida pelo exercício.

∅ - t = ∅ - 1 t

Quase acabando!

Último item!

Passo 3

Neste item vamos continuar o mesmo raciocínio das demonstrações das propriedades anteriores. Beleza!

Vamos nos basear que:

∅ ( t - s ) = ∅ t + - s =   ∅ t ∅ - s = ∅ t = ∅ - 1 s

Lembrando que essa prova só pode ser feita se levarmos em consideração a sugestão fornecida pelo exercício.

∅ - s = ∅ - 1 s

Te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)