Seja f(x) = 1 - x^(2/3) . Mostrar que f(1) = f(-1) = 0 , mas que f'(x) nunca se anula no intervalo [-1,1] . Explicar como isto é possível, em face do teorema de Rolle.

Passo 1

Primeiro vamos mostrar que f x = 1 - x 2 3 se anula em 1 e -1:

f 1 = 1 - 1 2 3 = 0

f - 1 = 1 - - 1 2 3 = 1 - - 1 2 1 3 = 0

Passo 2

Vamos calcular f ' x :

f ' x =   - 2 3 x - 1 3

Igualando a zero:

f ' x = 0 =   - 2 3 x - 1 3   → 2 x - 1 3 = 0   → 2 x 1 3 = 0

Claramente não temos solução real, então podemos dizer, mais especificadamente, que f ' x ≠ 0 ,   p a r a   t o d o   x   ∈ - 1,1

Passo 3

Vamos agora relembrar o teorema de Rolle.

O teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo a , b e diferenciável em a , b ,   s e   f a = f b   , então existe um valor c em ( a , b ) tal que: f ' c = 0

Perceba que o teorema requer que f seja diferenciável em ( - 1,1 ) , porém f ' 0 não é definido ( f ' ( x ) =   - 2 3 x 1 3   ) ou seja, não é diferenciável em todo intervalo, portanto não há violação do teorema, uma vez que ele não se aplica.

Resposta

Demonstração

Teorema de Rolle não se aplica à função dada.