Seja a > 0 . Mostre que quando a região entre y = a * raiz(x - a * x^2) e o eixo x é girada em torno do eixo de x , o volume de revolução resultante é independente da constante a .

Passo 1

Falaaa, como vai?? Antes de tudo, para resolvermos essa questão temos que deixar claro cada parte do sólido que ele supõe.

As equações são:

y = a x - a x 2 ,         y = 0                 e i x o   x

Para desenvolvermos a resultante vamos usar a seguinte fórmula.

V = π ∫ a b R 2 d x

Vamos para a resolução agora!!

Passo 2

Primeiro temos que achar os pontos de intersecção das funções.

a x - a x 2 = 0

Podemos simplificar para:

x - a x 2 = 0

x 2 1 x - a = 0

Então, as raízes são x = 0 e x = 1 / a .

Sendo assim, o período do nosso sólido é: 0 ,   1 / a .

Colocando os termos na integral do passo 1.

V = π ∫ 0 1 a a x - a x 2 2 d x

V = π ∫ 0 1 a a 2 x - a x 2 d x

V = π ∫ 0 1 a a 2 x - a 3 x 2 d x

V = π a 2 x 2 2 - a 3 x 3 3 1 / a 0

V = π 6

Como pode-se notar, o volume não depende de a nessas condições.

Resposta

V = π 6