Seja f(x) = 1 / (1 + 1/x), se x ≠ 0 e g(x) = 1 / (1 + 1 / f(x)) , ache f'(x) e g'(x) .

Passo 1

Vamos dividir essa questão em 3 partes, na primeira vamos simplificar a expressão de g^' (x) para ficar bem claro o que queremos achar.

g (x) = (1)/(1 + (1)/(f (x)))

g (x) = ((1)/(f (x) + 1))/(f (x)) =

g (x) = (f (x))/(f (x) + 1)

Derivando e aplicando a regra do quociente:

g^' (x) = ((f (x))^' (f (x) + 1) - ( f (x) + 1 ) ' ( f ( x ))/((f (x) + 1)^2)

g^' (x) = ((f (x))^' (f (x) + 1) - ( ( f (x) ) ' ( f (x) ))/((f (x) + 1)^2)

Ou seja, por mais feio que pareça ser, temos apenas que achar ( f (x) ) ' e substituir

Passo 2

Vamos achar (f (x))^' :

f (x) = (1)/(1 + (1)/(x)) =

f (x) = (x)/(x + 1) , p e l a r e g r a d o q u o c i e n t e :

f^' (x) = ((x + 1) - x)/((x + 1)^2) = (1)/((x + 1)^2) = (x + 1)^(- 2)

Passo 3

Agora vamos voltar na nossa expressão de g^' (x) .

g^' (x) = ((f (x))^' (f (x) + 1) - ( ( f (x) ) ' ( f (x) ))/((f (x) + 1)^2)

Usaremos que f (x) = (x)/(x + 1) = x (x + 1)^(- 1) e f^' (x) = (x + 1)^(- 2) para substituir:

g^' (x) = ((x + 1)^(- 2) (x (x + 1)^(- 1) + 1) - ( (x + 1)^(- 2) x (x + 1)^(- 1) ))/((x (x + 1)^(- 1) + 1)^2)

g^' (x) = ((1)/((x + 1)^2) ((x)/(x + 1) + 1) - ((1)/((x + 1)^2) (x)/(x + 1)))/((x (x + 1)^(- 1) + 1)^2)

g^' (x) = ((2 x + 1)/((x + 1)^3) - ((x)/((x + 1)^3)))/((x (x + 1)^(- 1) + 1)^2)

g^' (x) = ((x + 1)/((x + 1)^3))/(((2 x + 1)/(x + 1))^2) = ((x + 1)^3)/((x + 1)^3 (2 x + 1)^2) = (2 x + 1)^(- 2)

Resposta

g^' (x) = (2 x + 1)^(- 2)