Enunciado

Seja G   =   { ( x ,   y ,   z ) :   x 2   +   y 2   ≤   z   ≤   4 x } . Expresse o volume de G   como uma integral iterada em coordenadas

(a) esféricas

(b) cilíndricas

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão.

Letra (a) pede para expressar a integral iterada em coordenadas esféricas.

∭ G f x , y , z d V = ∭ l i m i t e s a p r o p r i a d o s f ρ s e n ∅ c o s θ , ρ s e n ∅ s e n θ , ρ c o s ∅ ρ 2 s e n ∅ d ρ d ∅ d θ

Temos que:

x = ρ s e n ∅ c o s θ ; y = ρ s e n ∅ s e n θ ; z = ρ c o s ∅

x 2 + y 2 = ρ 2 s e n 2 ∅ θ   + ρ 2 s e n 2 ∅ θ   = ρ 2 s e n 2 ∅ θ   + θ   = ρ 2 s e n 2 ∅

x 2   +   y 2   ≤   z   ≤   4 x → ρ 2 s e n 2 ∅   ≤   z   ≤   4 ρ s e n ∅ c o s θ

1 t g ∅ s e n ∅   ≤ ρ   ≤   4 s e n ∅

0 ≤ ∅   ≤   π / 2

- π / 2 ≤ θ   ≤   π / 2

Então a integral fica:

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 1 t g ∅ s e n ∅ 4 s e n ∅ ρ 2 s e n ∅ d ρ d ∅ d θ

Passo 2

Letra (b) pede para expressar a integral iterada em coordenadas cilíndricas.

∭ G f x , y , z d V = ∭ l i m i t e s a p r o p r i a d o s f r c o s θ , r s e n θ , z r d z d r d θ

x = r c o s θ ; y = r s e n θ ; z = z

x 2 + y 2 = r 2 θ   + r 2 s e n 2 θ = r 2 θ   + s e n 2 θ = r 2

r 2   ≤   z   ≤   4 r c o s θ

0 ≤ r ≤   4 c o s θ

- π / 2 ≤ θ   ≤   π / 2

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 4 c o s θ ∫ r 2 4 r c o s θ r 3 d z d r d θ

Resposta

c )   ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 1 t g ∅ s e n ∅ 4 s e n ∅ ρ 2 s e n ∅ d ρ d ∅ d θ

b )   ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 4 c o s θ ∫ r 2 4 r c o s θ r 3 d z d r d θ

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