Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 13.3 - Ex. 118

Seja f ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2 2 3   . Mostre que

f x   ( x ,   y )   =   { 4 x 3 x 2 + y 2 1 3 ,     x , y ≠ 0,0   0 ,                                                               x , y = 0,0    

Passo 1

Nessa questão teremos que mostra que a derivada da função f em relação a x forneça esse resultado. Para isso vamos derivar a função e substituir os pontos.

Passo 2

Para facilitar os cálculos, vamos fazer pela regra da substituição, onde:

u = x 2   +   y 2

f   u =   u 2 3

Temos:

f x   x ,   y = ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x = 2 3 u 1 3 * 2 x = 4 x 3 ( x 2   +   y 2 ) 1 3

Substituindo (0,0):

f x   0,0 = 4 * 0 3 ( 0 2   +   0 2 ) 1 3 = 0

Assim chegamos que:

f x   ( x ,   y )   =   { 4 x 3 x 2 + y 2 1 3 ,     x , y ≠ 0,0   0 ,                                                               x , y = 0,0    

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