Enunciado

Seja f ( x ,   y )   =   x 3   +   y 3 1 3 .

(a) Mostre que f y   ( 0 ,   0 )   =   1 .

(b) Em que pontos, se houver, f y     ( x ,   y ) deixa de existir?

Passo 1

Nessa questão vamos resolver a f y     ( x ,   y ) de duas formas.

Passo 2

Letra (a) A Definição 13.3.1 nos diz que:

f y x 0 , y 0 = d d y f   x 0 ,   y y = y 0 = f y x 0 , y 0 + ∆ y - f   x 0 ,   y 0 ∆ y  

Assim:

f y 0,0 = d d y f   0 ,   y y = 0 = d d y 0 + y 3 1 3 y = 0 = d d y y y = 0 = 1

Passo 3

Letra (b) Para facilitar os cálculos, vamos fazer pela regra da substituição, onde:

u = x 3   +   y 3

f   u =   u 1 3

Temos:

f y   x ,   y = ∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y = 1 3 u 2 3 * 3 y 2 = y 2 ( x 3   +   y 3 ) 2 3

Assim chegamos que f y   x ,   y não existe se y = - x e x ≠ 0 .

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