Seja f um polinômio. Um número alpha diz-se um zero com multiplicidade m se f(x) = (x - alpha)^m * g(x), com g(alpha) ≠ 0 .

a.Se f tem r zeros no intervalo [a.b] , provar que f' tem pelo menos r-1 zeros e que, em geral, a derivada de ordem k, f^k , tem pelo menos r-k zeros em [a.b] . (Cada zero é contado tantas vezes quantas as unidades do seu grau de multiplicidade.)

b.Se a derivada de ordem k, f^k tem exatamente r zeros em [a, b] , o que se pode concluir relativamente ao números de f em [a, b]?

Passo 1

Vamos escrever aos poucos as informações que são passadas no item a.

O enunciado nos diz que existem r zeros no intervalo [ a , b ] , além disso, diz que cada zero é contado tantas vezes quantas as unidades do seu grau de multiplicidade, ou seja:

r =   ∑ i = 1 k m i = t o t a l   d e   z e r o s .

Onde m 1 , … ,   m k são as multiplicidades dos zeros α 1 ,   … ,   α k   r e s p e c t i v a m e n t e .

Passo 2

Como a questão nos pede a quantidade de zeros de f ' e depois generalizar para uma derivada de ordem k, vamos derivar a equação inicial e ver o que ganhamos de informação.

f x = x - α m g x ,   c o m   g α   ≠ 0 ,   d e r i v a n d o :

Usaremos a regra do produto.

f ' x = m i x - α i m i - 1   g x + g ' x ( x - α i m i )

= x - α i m i - 1   m i g x + g ' x x - α i  

Agora vamos usar a própria informação do problema para entender quantos zeros temos para f ' x

Bom, pela própria definição do problema, usando que x =   α i   é zero de f ' x , com multiplicidade m i - 1 . Sabemos pelo teorema do valor médio que para dois zeros diferentes α i   e   α j   d e   f existe um número c   ∈ [ α i , α j ] tal que f ' c = 0

Ou seja, como f   tem r   zeros no intervalo [ a , b ] , concluímos que existem pelo menos r - 1 zeros para f ' ( x ) . Para concluir isso pode pensar que pegamos o α 1   e   o   α 2   ,   raízes/zeros de f , daqui tiramos 1 valor c, tal que f ' c = 0 , depois pegamos α 1   e   o   α 3 ,     p o r   e x e m p l o , pela minha linha de raciocínio achamos outro valor c. Ou seja, podemos fazer isso r-1 vezes (sempre será α 1   c o m   a l g u m   α i ), como temos “r alfas” iremos combinar α 1   com os outros alfas, tendo r-1 novos valores “c”.

Então para f ' temos r-1 zeros.

Porém podemos fazer isso quantas vezes quisermos, podemos pegar nossa função f ' ( x ) derivar e chegaremos em algo do tipo: f ' ' x = x - α i m - 2 ( a l g o )

E seguindo a mesma linha de raciocínio, porém agora usando que f ' x tem r-1 zeros, concluiremos que f ' ' ( x ) tem r-2 zeros, então por indução, concluímos que:

f k   t e r e m o s   r - k   r a í z e s .

Passo 3

Bom, agora para o item b basta usarmos o item a.

Por (a), sabemos que f k   t e m   r - k   raízes, se f possui r raízes.

Ou seja, se f possui t raízes, sabemos que f k   possui t - k   raízes (basta fazer a mesma coisa do item a, para um t qualquer), queremos forçar que:

t - k = r   → t = r + k

Ou seja, se f k tem r zeros no intervalo dado, f   terá no máximo r   + k   raízes (se tiver mais do que isso, f k   teria no mínimo r zeros, porém ele tem exatamente r zeros

Resposta

a.Demonstração

b.Máximo de r+k raízes.