Seja um polinômio. Um número diz-se um zero com multiplicidade m se .
a.Se tem r zeros no intervalo , provar que tem pelo menos r-1 zeros e que, em geral, a derivada de ordem k, , tem pelo menos r-k zeros em . (Cada zero é contado tantas vezes quantas as unidades do seu grau de multiplicidade.)
b.Se a derivada de ordem k, tem exatamente r zeros em , o que se pode concluir relativamente ao números de f em
Passo 1
Vamos escrever aos poucos as informações que são passadas no item a.
O enunciado nos diz que existem r zeros no intervalo , além disso, diz que cada zero é contado tantas vezes quantas as unidades do seu grau de multiplicidade, ou seja:
Onde são as multiplicidades dos zeros
Passo 2
Como a questão nos pede a quantidade de zeros de e depois generalizar para uma derivada de ordem k, vamos derivar a equação inicial e ver o que ganhamos de informação.
Usaremos a regra do produto.
Agora vamos usar a própria informação do problema para entender quantos zeros temos para
Bom, pela própria definição do problema, usando que é zero de , com multiplicidade Sabemos pelo teorema do valor médio que para dois zeros diferentes existe um número tal que
Ou seja, como tem zeros no intervalo , concluímos que existem pelo menos zeros para . Para concluir isso pode pensar que pegamos o raízes/zeros de , daqui tiramos 1 valor c, tal que , depois pegamos pela minha linha de raciocínio achamos outro valor c. Ou seja, podemos fazer isso r-1 vezes (sempre será ), como temos “r alfas” iremos combinar com os outros alfas, tendo r-1 novos valores “c”.
Então para temos r-1 zeros.
Porém podemos fazer isso quantas vezes quisermos, podemos pegar nossa função derivar e chegaremos em algo do tipo:
E seguindo a mesma linha de raciocínio, porém agora usando que tem r-1 zeros, concluiremos que tem r-2 zeros, então por indução, concluímos que:
Passo 3
Bom, agora para o item b basta usarmos o item a.
Por (a), sabemos que raízes, se possui r raízes.
Ou seja, se possui t raízes, sabemos que possui raízes (basta fazer a mesma coisa do item a, para um t qualquer), queremos forçar que:
Ou seja, se tem r zeros no intervalo dado, terá no máximo raízes (se tiver mais do que isso, teria no mínimo r zeros, porém ele tem exatamente r zeros
Resposta
a.Demonstração
b.Máximo de r+k raízes.