Seja F ( x ,   y ,   z )   =   f   ( x ,   y ,   z ) i   +   g ( x ,   y ,   z ) j   +   h ( x ,   y ,   z ) k e suponha que f , g e h sejam contínuas e tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região. No Exercício 31 da Seção 15.3, foi mostrado que, se F for conservativo na região, então

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x , ∂ f ∂ z = ∂ h ∂ x ,   ∂ g ∂ z = ∂ h ∂ y  

nessa região. Use esse resultado para mostrar que se F for conservativo em uma região esférica aberta, então r o t   F   =   0 nessa região.

Passo 1

Bora galera! Para mostrar que se F for conservativo em uma região esférica aberta, então r o t   F   =   0 nessa região, temos que calcular o r o t   F através da fórmula:

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h  

Passo 2

Assim, temos:

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   f   g   | = ∂ h ∂ y i + ∂ f ∂ z j + ∂ g ∂ x k - ∂ f ∂ y k - ∂ g ∂ z i - ∂ h ∂ x j

Como

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x , ∂ f ∂ z = ∂ h ∂ x ,   ∂ g ∂ z = ∂ h ∂ y ,  

Temos:

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   f   g   | = ∂ h ∂ y - ∂ g ∂ z i + ∂ f ∂ z - ∂ h ∂ x j + ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y k = 0

Resposta

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