Enunciado

Seja f ( x ,   y )   =   2 x 2 -   3 x y   +   y 2 . Use a Definição 13.3.1 para determinar f x ( 2 ,   - 1 ) e f y   ( 2 ,   - 1 ) . Então, verifique sua resposta calculando a derivada de maneira usual.

Passo 1

Fala galera, vamos para mais uma questão.

A Definição 13.3.1 fala que “Se z   =   f   ( x ,   y ) e ( x 0 , y 0 ) é um ponto no domínio de   f , então a derivada parcial de f em relação a x em ( x 0 , y 0 ) [também chamada de derivada parcial de z em relação a x   em ( x 0 , y 0 ) ] é a derivada em x0 da função que resulta quando y   =   y 0 for mantido fixo e a x   for permitido variar. Essa derivada parcial é denotada por f x ( x 0 , y 0 ) e é dada por”

f x x 0 , y 0 = d d x f   x ,   y 0 x = x 0 = f x x 0 + ∆ x , y 0 - f   x 0 ,   y 0 ∆ x  

Analogamente, temos que:

f y x 0 , y 0 = d d y f   x 0 ,   y y = y 0 = f y x 0 , y 0 + ∆ y - f   x 0 ,   y 0 ∆ y  

Passo 2

Vamos aos cálculos:

f x 0 ,   y 0 = f 2 , - 1 =   2 2 2 -   3 2 - 1 +   - 1 2 = 15

f x x 0 , - 1 = d d x f   x ,   - 1 = d d x 2 x 2 +   3 x   +   1 = 4 x + 3

f x 2 , - 1 = 4 2 + 3 = 11

f y 2 , y 0 = d d y f   2 ,   y = d d y 8 -   6 y   +   y 2 = 2 y - 6

f y 2 , - 1 = 2 - 1 - 6 = - 8

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de maneira usual. Temos:

f x x ,   y = 4 x - 3 y

f x 2 ,   - 1 = 4 2 - 3 - 1 = 11

f y x ,   y = - 3 x + 2 y

f y 2 ,   - 1 = - 3 2 + 2 - 1 = - 8

Acabamos essa, bora para a próxima?

Resposta

f x 2 ,   - 1 = 11

f y 2 ,   - 1 = - 8

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