Enunciado

Seja a1 um número real qualquer e seja {an} a sequência definida recursivamente por

Faça uma conjectura sobre o limite da sequência e confirme sua conjectura expressando an em termos de a1 e tomando o limite.

Passo 1

Essa questão é extremamente fácil de resolver pelo fato de o comando já informar tudo que nós precisamos saber, acredita?

Olha só, de acordo com a fórmula dada, os próximos termos seriam:

a 1

a 2 = 1 2 a 1 + 1 2

a 3 = 1 2 a 2 + 1 2       →       a 3 = 1 2 * 1 2 a 1 + 1 2 + 1 2 =   1 2 2 a 1 + 1 2 2 + 1 2

a 4 = 1 2 a 3 + 1 2       →       a 3 = 1 2 * 1 2 2 a 1 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 =   1 2 3 a 1 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2

Passo 2

A partir da sequência da série temos a seguinte fórmula:

a n = 1 2 n - 1 a 1 + 1 2 n - 1 + 1 2 n - 2 + … + 1 2

Tomando um limite dessa sequência, temos:

a n   =   a 1 2 n - 1     +   ∑ n = 1 ∞ 1 2 n =     0 + 1 2 1 - 1 2 = 1

Prontinho, terminamos mais uma questão!!!

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