Seja R a placa cujo formato é o da região sob y = sen x , para 0 ≤ x ≤ π/2 , na Figura 13(A). Calcule a força de fluido em R se a placa for girada 90° no sentido anti-horário e submersa num fluido de densidade 140 lb / p * é^3 com seu topo nivelado com a superfície do fluido, como em (B).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos colocar a origem no canto inferior da placa, com o eixo y positivo apontando para cima. A superfície do fluido está na altura y = π 2 , e a tira horizontal da placa na altura y   está a uma profundidade de π 2 - y , e a largura é s e n   x , portanto,

F = ρ g ∫ a b y f y   d y

Substituindo os valores, nós temos que

F = 1100 9,8 ∫ 0 π 2 π 2 - y sin ⁡ y   d y

Simplificando um pouco mais essa integral

F = 10780 ∫ 0 π 2 π 2 sin ⁡ y   d y - 10780 ∫ 0 π 2 y sin ⁡ y   d y

Passo 2

temos duas integrais para calcular, a primeira é bem direta, a segunda integral, no entanto, usaremos integração por partes, onde,

u = y   ; d v = sin ⁡ y

d u = 1   ; v = - cos ⁡ y

Com isso,

∫ y sin ⁡ y   d y = u v - ∫ v   d u

Essa integral pode ser desenvolvida

∫ y sin ⁡ y   d y = - y cos ⁡ y + ∫ cos ⁡ y   d y

Com isso, nós temos que

∫ y sin ⁡ y   d y = - y cos ⁡ y + sin ⁡ y = sin ⁡ y - y cos ⁡ y

Passo 3

Voltando para a integral original, nós temos que

F = 10780 ∫ 0 π 2 π 2 sin ⁡ y   d y - 10780 ∫ 0 π 2 y sin ⁡ y   d y

Desenvolvendo os termos, nós temos que

F = 10780 - π 2 cos ⁡ y 0 π / 2 - 10780 sin ⁡ y - y cos ⁡ y 0 π / 2

Que tem como resultado

F = 10780 π 2 - 10780 1 = 10780 π 2 - 1

O que nos dá aproximadamente

F ≈ 6153,184   N

Resposta

F ≈ 6153,184   N