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Seja α > 1 um real dado. Mostre que a sequencia a n = ∫ 1 n s e n   x α d x é convergente

Sugestão: faça a mudança de variável u = x α

Passo 1

Seguindo a sugestão vamos fazer a mudança de variável

u = x α

Derivando dos dois lados

d u = α x α - 1 d x

Dessa forma o diferencial de x será

d x = d u α u α - 1 / α

Substituindo na sequencia

a n = 1 α ∫ 1 n α s e n   u u α - 1 / α d u

Passo 2

Ainda sim possuímos uma integral por partes,

Resolvida assim oh!

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Onde

u = 1 u α - 1 α                 → d u = - α - 1 α u 2 α - 1 α

d v = s e n   u d u         →     v = - cos ⁡ u

∫ 1 n α 1 u α - 1 α s e n   u   d u =   1 u α - 1 α - cos ⁡ u 1 n α + α - 1 α ∫ 1 n α c o s   u u 2 α - 1 α d u

Passo 3

O enunciado nos disse que α > 1

Desta forma

2 α - 1 α > 1

Sendo assim cara

∫ 1 ∞ cos ⁡ u u 2 α - 1 α d u

Será ABDOLUTAMENTE CONVERGENTE

Passo 4

Podemos analisar ainda

α - 1 α > 0

Haja vista que α > 1

Dessa forma a sequencia dada é CONVERGENTE e

lim n → ∞ ⁡ a n = 1 α cos ⁡ 1 + α - 1 α ∫ 1 ∞ cos ⁡ u u 2 α - 1 / α d u

Resposta

A sequencia a n é CONVERGENTE

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