Seja α um real dado, com alpha um não natural. Considere a equação diferencial linear de 1ª ordem:

y' = α / (1 + x) * y, x > -1

  1. Suponha que y = g(x), -1 < x < 1, seja a solução da equação acima e que g(0) = 1. Prove que, para todo x ∈ ]-1, 1[

g(x) = (1 + x)^α

Sugestão: Verifique que d / dx [ g(x) / (1 + x)^α ] = 0 em ] - 1, 1 [ .

Passo 1

Boom, vamos seguindo com uma visão bem crítica aqui, eu sei demonstração é terrível, mas temos que continuar !!

Quando nós fazemos a derivada sugerida e assumindo que g x = 1 + x α

d d x g x 1 + x α = d d x 1 = 0

Isso nos diz que existe uma constante, tal que:

g x 1 + x α = k

Ou melhor:

g x = k 1 + x α

Se:

g 0 = 1

Então:

g 0 = k 1 + 0 α = k = 1

Concluindo que:

g x = 1 + x α

E é isso aí !!

Bora pra próxima?!

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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