Enunciado

Seja R a região descrita. Esboce a região R e preencha as lacunas com os extremos de integração que faltam.

∬ R f r , θ d A = ∫ ∫ f r , θ r   d r   d θ

A região no interior do círculo r = 4 sen ⁡ θ e fora do círculo r = 2 .

Passo 1

Olá galera! Para resolver esta questão precisamos encontrar dois intervalos: primeiro, o intervalo onde o raio varia e segundo, o intervalo onde o ângulo varia. É claro que o esboço desta região polar nos levará a encontrar os dois intervalos procurados. Segue o esboço desta região (os círculos determinados por r = 4 sen ⁡ θ e r = 2 foram chamados de C1 e C2 respectivamente):

Passo 2

Viu que o esboço da região procurada, nos deu o intervalo onde o raio varia de cara? Pelo estudo desta seção, sabemos que na região tracejada o raio estará entre os raios dos círculos C2 e C1, e isto corresponde ao intervalo

2 ≤ r ≤ 4 sen ⁡ θ

Passo 3

Hufaaa, só nos resta agora encontrar o último intervalo. Repare que se o raio comece a varrer a região esboçada no sentido anti-horário, as duas curvas só irão se intersectar duas vezes, no primeiro e segundo quadrante. Sendo assim, a nossa tarefa é encontrar estes dois pontos de interseção em termos de ângulos. A melhor coisa a fazer é igualar as duas equações polares, isto é, igualando os seus raios.

4 sen ⁡ θ = 2

sen ⁡ θ = 1 2

Como as duas curvas se interceptam duas vezes (no 1º Quadrante e no 2º Quadrante), então as soluções são

θ = π 6

e

θ = 5 π 6

Estas soluções nos mostram que o intervalo procurado é

π 6 ≤ θ ≤ 5 π 6

Resposta

∬ R f r , θ d A = ∫ π 6 5 π 6 ∫ 2 4 sen ⁡ θ f r , θ r   d r   d θ

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