Enunciado

Seja R a região da figura a seguir. Preencha os limites de integração q ue faltam na integral ∫ ∫ f ( x , y ) d x d y

Em R .

Passo 1

Bora galera iniciar mais uma questão!

Primeiramente vamos analisar a figura do exercício. Através dela podemos afirmar que o raio é igual a 1 , essa informação nos ajuda a definir o limite em y , assim temos que y varia entre:

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Agora vamos analisar em relação ao eixo x. Sabemos que x sempre é positivo e que:

0 ≤ x ≤ 2

y = 0   → x = 0

r 2 = x 2 + y 2

Então, temos:

1 2 = x 2 + y 2

x 2 = 1 - y 2

x = 1 - y 2

Para respeitarmos as coordenadas positivas e que y = 0   → x = 0 temos:

x = 1 ± 1 - y 2

Assim:

1 - 1 - y 2 ≤ x ≤ 1 + 1 - y 2

Temos:

∫ ∫ f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 ∫ 1 - 1 - y 2 1 + 1 - y 2 f ( x , y ) d x d y

Resposta

∫ 0 1 ∫ 1 - 1 - y 2 1 + 1 - y 2 f ( x , y ) d x d y