Enunciado

Seja G a região limitada acima pela esfera ρ   =   a e abaixo pelo cone ∅   =   π / 3 . Expresse

∭ G x 2 + y 2 d V

como uma integral iterada em coordenadas

(a) esféricas

(b) cilíndricas

(c) retangulares

Passo 1

Bora galera para mais uma questão relacionada a coordenadas.

Letra (a) pede para expressar a integral iterada em coordenadas esféricas.

∭ G f x , y , z d V = ∭ l i m i t e s a p r o p r i a d o s f ρ s e n ∅ c o s θ , ρ s e n ∅ s e n θ , ρ c o s ∅ ρ 2 s e n ∅ d ρ d ∅ d θ

Temos que:

x = ρ s e n ∅ c o s θ ; y = ρ s e n ∅ s e n θ ; z = ρ c o s ∅

x 2 + y 2 = ρ 2 s e n 2 ∅ θ   + ρ 2 s e n 2 ∅ θ   = ρ 2 s e n 2 ∅ θ   + θ   = ρ 2 s e n 2 ∅

0 ≤ ρ   ≤   a

0 ≤ ∅   ≤   π / 3

0 ≤ θ   ≤   2 π

Então a integral fica:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 a ρ 2 s e n 2 ∅ ρ 2 s e n ∅ d ρ d ∅ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 a ρ 4 s e n 3 ∅ d ρ d ∅ d θ

Passo 2

Letra (b) pede para expressar a integral iterada em coordenadas cilíndricas.

∭ G f x , y , z d V = ∭ l i m i t e s a p r o p r i a d o s f r c o s θ , r s e n θ , z r d z d r d θ

x = r c o s θ ; y = r s e n θ ; z = z

x 2 + y 2 = r 2 θ   + r 2 s e n 2 θ = r 2 θ   + s e n 2 θ = r 2

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 → r 2 + z 2 = a 2 → z = a 2 - r 2 r / 3 ≤ z   ≤   a 2 - r 2

0 ≤ r ≤   3 a / 2

0 ≤ θ   ≤   2 π

∫ 0 2 π ∫ 0 3 a / 2 ∫ r / 3 a 2 - r 2 r 3 d z d r d θ

Passo 3

Letra (c) pede para expressar a integral iterada em coordenadas retangulares.

∭ G f x , y , z d V = ∭ l i m i t e s a p r o p r i a d o s f z , y , z d z d y d z

a 2 = x 2 + y 2 + z 2 → z = a 2 - x 2 - y 2

z = r 3 = x 2 + y 2 3

x 2 + y 2 3 ≤ z ≤ a 2 - x 2 - y 2

r = 3 a 2

r 2 = x 2 + y 2 = 3 a 2 2 → y 2 = 3 a 2 4 - x 2 → y = 3 a 2 4 - x 2

- 3 a 2 4 - x 2 ≤ y ≤ 3 a 2 4 - x 2

- 3 a 2 ≤ x ≤ 3 a 2

∫ - 3 a 2 3 a 2 ∫ - 3 a 2 4 - x 2 3 a 2 4 - x 2 ∫ x 2 + y 2 3 a 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

Resposta

a )   ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 a ρ 4 s e n 3 ∅ d ρ d ∅ d θ

b )   ∫ 0 2 π ∫ 0 3 a / 2 ∫ r / 3 a 2 - r 2 r 3 d z d r d θ

c )   ∫ - 3 a 2 3 a 2 ∫ - 3 a 2 4 - x 2 3 a 2 4 - x 2 ∫ x 2 + y 2 3 a 2 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

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