Seja A a região sob o gráfico de y = ln(x) , acima de [1, e] (Figura 14). Calcule a força de fluido numa placa com o formato da região A se a superfície d’água estiver em y = 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Desde que o fluido tem uma altura y = 1 , a faixa horizontal na altura y está a uma profundidade de ( 1 - y ) , então, a faixa tem uma largura de

f y = e - e y

Portanto,

F = ρ g ∫ a b y f y   d y

Fazendo a substituição de valores, nós temos que

F = 900 9,8 ∫ 0 1 1 - y e - e y   d y

Simplificando um pouco mais as coisas

F = 8820 e ∫ 0 1 1 - y   d y   - 8820 ∫ 0 1 e y 1 - y   d y

Para integrar

∫ e y 1 - y   d y

Nós vamos usar a integração por partes, mas no próximo tópico

Passo 2

u = 1 - y   ; d v = e y

d u = - 1   ; v = e y

Com isso, nós temos que

∫ e y 1 - y   d y = u v - ∫ v   d u

Desenvolvendo os termos, nós temos que

∫ e y 1 - y   d y = 1 - y e y + ∫ e y   d y = 1 - y e y + e y

Nós temos que

F = 8820 e ∫ 0 1 1   d y - 8820 e ∫ 0 1 y   d y - 8820 1 - y e y + e y 0 1

Simplificando

F = 8820 e y 0 1 - 8820 e y 2 2 0 1 - 8820 [ e - 2 ]

Logo, é igual a

F = 8820 e - 8820 e 2 - 8820 e + 17640 = 17640 - 4410 e

O que nos dá aproximadamente

F ≈ 5652,37   N

Resposta

F ≈ 5652,37   N