Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 14.6 (exercícios de compreensão) - Ex. 2

Seja G a região sólida dentro da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano z   =   1 . Em cada parte, preencha as lacunas com o integrando e os extremos de integração que faltam nas integrais iteradas em coordenadas cilíndricas.

(a) O volume de G é

∭ G d V = ∫ ∫ ∫ _ _ _ _ _ _ _ _   d z d r d θ

(b)

∭ G z x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ ∫ ∫ _ _ _ _ _ _ _ _   d z d r d θ

Passo 1

Vamos iniciar mais uma questão, galera!

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa.

Para resolver a letra (a) vamos precisar lembrar que o cálculo do volume para coordenadas retangulares cilíndricas é dado por:

∭ G d V = ∭ G f ( r   c o s θ , r   s e n θ , z )   r d z d r d θ

O enunciando nos fornece algumas informações importantes, como: “a região sólida dentro da esfera de raio 2 centrada na origem e acima do plano z   =   1 ”. Isso nos indica que

r ≤ 2   e   z ≥ 1

Passo 2

Letra (a) para uma esfera sempre o intervalo de θ é 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Considerando que:

z 2 = r f 2 + r i 2 → z = 4 + r 2

z = 1 → 1 = 4 + r 2 → r = 3

Temos que:

∭ G d V = ∫ ∫ ∫ _ _ _ _ _ _ _ _   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 1 4 + r 2 r d z d r d θ

Passo 3

Letra (b) Considerando que:

r 2 = x 2 + y 2

Temos:

∭ G z x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 1 4 + r 2 z r 2 + z 2 r d z d r d θ

Resposta

a )   ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 1 4 - r 2 r d z d r d θ

b )   ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 1 4 - r 2 r z r 2 + z 2   d z d r d θ

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